大家好，我是哈姆寶的工讀生。
本單元一如往常，是跟大家聊聊簡單的數學，
以及如何透過這些簡單的原理，解釋遊戲中的一些現象。
話說瑪奇因為出雙槍的關係，紅改石的售價又被炒得火熱。
新手頻沒幾天就會聽到有人抱怨:
”花了大錢買改石，改了半天最後改出第一階段改造的武器 Q Q”
這類的發言。
所以，問題來了:
要改到第五階段或是第六階段改造，預期要多少改石?
要回答這個問題，我們先想簡單點的狀況:
假設不管怎樣裝到第三階段就收手(或者說當它第四階段之後不存在)
讓我們想一下瑪奇的武器特殊改造系統
把每階段之間的關係圖畫出來:
- 武器的改造狀態有第零到第三階段，共 4 個狀態，用圓表示。
- 圖中第零階段到第二階段是過度狀態(Transient state)，也就是說還沒改好，有改石就會繼續改下去；用藍色的圓表示。
- 圖中第三階段是我們的目標，改到這邊就會收手，不會繼續改下去，這種狀態稱作吸收狀態(Absorbing state)，用紫色的圓表示。
- 武器的初始狀態是第零階段，我們加上黃框標示。
現在，來看看不同狀態之間變換的關係…
我們把改造成功用綠色箭頭表示，失敗用紅色箭頭。每個箭頭標上該變換發生的機率。每一個狀態變換的機率用 P(i->j) 表示。
- (0->1) 改一定會成功，所以是第一個綠色箭頭是 P(0->1) = 100% = 1。
- 武器在第一階段時拿去改造，有 50% 機會成功(1->2)，50%機會失敗倒退一階段 (1->0)。同理，武器在第2段時拿去改造也是一樣狀況。
- 改到第三階段這個吸收狀態的時候，我們就會立刻收手。所以狀態再也不會變換了。或者說一直進行著 (3->3) 的 100% 不變的變換 (最右邊的紫色箭頭)。
所以本文的問題，要從第 m 階段到第 n 階段期望要改多少次?
Em(Tn) 就是要求的答案。
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在繼續解下去之前，要先說明期望值的一個特性:
我們知道每次的改造，或者說每次狀態的變換，都只跟目前所在的狀態有關，跟到底怎麼走到目前這個狀態是完全無關 (或者說是獨立的)。
舉例來說:
不管你是一口氣改到第4階段，或是改了 500 次才改到，面對接下來的變換，是沒有差別的: 都一樣是 45% 的機會成功變第5階段，和55% 的機會失敗變第 3 階段。
在這種 “無記憶效應” 獨立的狀態變換下，期望值符合線性加疊。
由於證明起來頗麻煩，我們用簡單的例子說明:
猜拳獲勝的機會是 1/3，如果每次兩方出拳都是隨機的，每猜一次拳就期望獲勝 1/3 次，猜3次拳獲勝的期望值是 1 = (1/3 + 1/3 + 1/3)，猜12次拳期望獲勝 4 次 (期望猜 3 次贏 1次，要贏 4 次期望要猜 3+3+3+3 次)...
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知道這個特性之後，我們回來看看剛剛的圖，
寫一下每個狀態之間變換的期望步數會是如何:
寫一下每個狀態之間變換的期望步數會是如何:
先從右邊看起...
從第三階段走到第三階段的期望步數: E3(T3)
因為一但到第三階段就達成了我們改造的目標，不會再改了，也沒有必要再動了。想當然 E3(T3) = 0
從第二階段走到第三階段的期望步數: E2(T3)
首先，因為第二階段是個過渡狀態，我們不論如何要先改下去一次，改完之後有 50% 的機會到第三階段，50% 的機會掉回第一階段。到達第三階段的情況下，我們還要期望走 E3(T3) = 0 步 (廢話，因為已經改好不用再動了)；在掉回第一階段的情況下，我們期望要走 E1(T3) 步才能再爬到第三階段。
寫成方程式就是...
E2(T3) = 1 + 0.5*E3(T3) + 0.5*E1(T3) = 1 + 0.5*E1(T3) …... (1)
在第一階段和第零階段可以寫出類似的方程式:
E1(T3) = 1 + 0.5*E2(T3) + 0.5*E0(T3) …... (2)
E0(T3) = 1 + 1*E1(T3) …... (3)
(1), (2), (3) 形成三元一次聯立方程式，用一點耐心就可以解出:
E0(T3) = 9 ; E1(T3) = 8 ; E2(T3) = 5
現在回頭看看，一口氣從第零階段改到第三階段的機率是 25%。
也就是平均四個改造武器的案例，就有一例是一口氣改到第三階段的。
這似乎讓很多人有錯覺以為準備個 4 ~ 8 顆改石就能改到第三階段。
事實上改到第三階段期望會用掉 9 顆改石。
事情總是比想像中要棘手啊!
-- 我是分格線 --
下回預告:
今天講的是 Markov Chain 簡單的應用
結構上很單純，但是用手動硬算實在很累 XD
下一回我們將使用線性代數解更多段的狀況
還有大致推估一下到底改造次數會怎麼分佈…
也就是說算一下最雖小的 25% 玩家到底會多慘!
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